Zamanda geriye doğru yolculuk yapmanın en kısa yolu tarih okumaktır

Sayfa2

Sayfa 1'e dön

Örneğin, birinci tipte x+y=b, xy=c denklem sisteminde x ile y dikdörtgenin kenarlarını temsil ederse, xy de alanı göstereceğinden, bu tip denklemlerin söz konusu olduğu problemler, bir dikdörtgenin iki kenar toplamı ile alanının değerlerine dayanılarak kenarların bulunmasını isteyen problemlerdir.

İkinci tipte ise, x-y=b, xy=c sisteminde, iki kenar farkı ve alan verilmekte, kenarların ayrı ayrı değerlerinin bulunması istenmektedir. Üçüncü tip olan x+y=b, x²+y²=c sisteminde, iki kenar toplamı ile köşegenin karesi bilinmekte ve kenarlar aranmaktadır.

Beşinci tip olan x+y=b, x²-y²=c sisteminde  x bilinmeyeni köşegeni, y bilinmeyeni ise bir kenarı temsil ederse, x²-y² ifadesi bir kenarın karesini verir, bir kenar ile köşegenin toplamı ve bir kenarın karesi aracılığıyla kenarlar istenmektedir.

Bu geometrik yorum ışığında, aslında geometrik bir mahiyet taşıyan problemlerin cebir kıyafetine bürünmüş olduğu, bunların cebirsel bir problem şeklinde sunuldukları düşünülebilir. Ayrıca, denklem çözümleri genellikle analitik yoldan bulunmakla birlikte, geometri yardımıyla denklem çözümüne hiç değilse bir örnek vardır. Bu durumda, Mezopotamya cebirinin en eski dönemlerde geometri ile kuvvetli bağları olduğunu, bu cebirin Pitagorcular yoluyla Abdülhamid ibn Türk ve Hârezmî cebirinin devamıyla da Diofantos’ta karşılaşıldığını bir faraziye olarak ileri sürmek mümkün olabilir.

Dokuz tipten sadece 7, 8 ve 9.tipler, önceki tipler için düşünülen geometrik yorumlama dışında kalmaktadır. Zaten Mezopotamyalılar’da, 7, 8.tiplere az rastlanmakta, Gandz’a göre 9.tipe ise hiç rastlanmamaktaydı. Bunun sebebinin ise, x²+c=bx denkleminin iki çözümünün olması düşünülebilir.

Mezopotamyalılar çift değerli çözümü yadırgamaktaydı. Aynı bir bilinmeyenli için örneğin bir defasında 5 ve bir defasında da 7 bulunması bir tereddüt yaratmıştır. Gandz’a göre x²+c=bx denkleminin çift çözümü, 1. tipteki x ve y çözümlerine bağlanabilir. Abdülhamid ibn Türk ve Hârezmî cebirinde bu münasebet bilinmekte olmasına rağmen, çift çözüme bir tereddüt duyulmaması, x²+c=bx denklemi 1. tipten müstakil, kendi başına düşünüldüğünde dahi, iki çözüm çıkması sebebinin bir açıklanmaya bağlanması ile ilgiliydi. Bu açıklama, geometrik çözüm metoduna dayanıyordu. Kullanılan geometrik çözüm metodu, hem bu denklemin çift çözümü olmasını hem de diğer iki denklemin yani x²+bx=c ve x²=bx+c denklem tiplerinin birer çözümlü oluşunu izah edebiliyordu.

Tabletlerde karşılaşılan örneklerden görüldüğü gibi, denklemler ilkin standart tiplerden birine ve özellikle de ilk tiplere dönüştürülüyor, sonra çözümleri veriliyordu. Denklemlerin daha basit hale getirilerek standart tiplere dönüştürme işinde çeşitli metotlar kullanmışlardır. Bu metotlardan bir tanesi, yardımcı bilinmeyen kullanılmasıdır. Örneğin x+y=27, xy+(x-y)=183 şeklindeki problemi göz önüne alalım. Burada x ile y bir dikdörtgenin kenarlarıdır. Xy ise dikdörtgenin alanıdır. Alana iki kenar farkı eklendiğinde 183 bulunuyor. Çözüm adımları şöyle: x+y+xy+(x-y)=183+27=210, xy+2x=210, bu safhada bir y’ yardımcı bilinmeyeni işe karışmakta, y’=y+2, xy’=x(y+2)=xy+2x=210, x+y’=x+y+2=27+2=29. Böylece xy’=210 ve x+y’=29 şeklinde iki yeni denklem elde edilmekte, bu denklemler ise 1.tipteki denklem sistemidir. Bu şekilde, yardımcı bilinmeyen kullanılarak eldeki denklem 1.tipe dönüştürülmüş oldu. Bir diğer örnekte z=(x-y)/2 yardımcı bilinmeyeni kullanılmıştır.

Yine, örneğin ax²+bx=c gibi bir denklemi çözmek için önce bu denklemi x2+(b/a)x şekline sokmamışlar, denklemin terimlerini kareli terimin katsayısı ile çarparak a²x²+bax=ca şekline sokmuşlardır. Z=ax yardımcı bilinmeyenini kullanarak denklemi (ax)²+b(ax)=z²bz=ca şekline dönüştürmüşlerdir. Bu da standart tiplerin 7.sine tekabül etmektedir.

Tabletlerde standart tiplerin çözümleri açıklanmamaktadır. Bunların bilindiği gibi farz edilerek işlem adımları yapılmaktadır. Diofantos’un Mezopotamya cebirinden etkilendiği açık biçimde anlaşıldığından, bazı araştırıcılar, denklem tiplerinin çözümlerinin de Diofantos’a benzer yoldan yapıldığına inanmışlardır. Örneğin, x+y=b, xy=c tipini alalım. Gandz’a göre bu tipin çözümü için, Diofantos’ta olduğu gibi x-y=2z bağıntısıyla (belirlenen)

Sayfa 3